핵심 내용 요약
80년 전, 수학자 에르들시는 간단해 보이는 질문을 제기했습니다: 평면에 n개의 점을 놓았을 때, 최대로 몇 쌍의 점이 서로 1센티미터(단위 거리) 떨어져 있을 수 있을까요? 그는 이 수의 증가 속도가 n에 가깝게(거의 선형적으로, 예를 들어 n 곱하기 점차 작아지는 숫자) 증가할 것이며, n의 1.01제곱과 같은 “거의 선형적인” 범위를 넘지 않을 것이라고 추측했습니다. 올해 5월, 오픈AI의 일반 AI 모델(특별히 수학 문제를 해결하기 위해 훈련된 것은 아님)은 복잡한 대수 및 수론적 방법을 사용하여 이 추측을 뒤엎었습니다. 즉, δ(예: 0.014)와 같은 작은 양이 존재하며, 단위 거리로 떨어진 점 쌍의 수가 n^(1+δ)에 이를 수 있음을 증명했습니다. 이는 AI가 중대한 수학적 추측에서 처음으로 돌파구를 이룬 사례입니다. 이 증명은 대회의 전설적인 인물인 천리제(Chen Lijie)가 주도하여 인간이 이해할 수 있는 형태로 정리했으며, AI가 수학 연구를 뒤집을 수 있을지에 대한 논의를 불러일으켰습니다.
1. 에르들시의 추측: 평면상에서 최대로 몇 쌍의 “1센티미터 거리” 점이 있을 수 있을까?
종이에 n개의 점을 그려서 가능한 한 많은 점 쌍이 서로 1센티미터 떨어지도록 하고 싶다고 상상해 보세요. 에르들시의 질문은 바로 이 “최대” 값이 얼마인가였습니다.
- 가장 간단한 경우: 중심점을 두고 그 주변에 n-1개의 점을 반지름 1센티미터의 원 위에 놓으면, 중심에서 각 점까지의 거리가 모두 1센티미터가 됩니다(n-1쌍).
- 하지만 더 많은 경우는 어떨까요? 예를 들어, 체스판과 같은 정수 격자에서 각 점의 주변에 1센티미터 거리로 떨어진 이웃이 몇 개 있을 수 있을까요? 하지만 평면 기하학적 제한으로 인해 최대 3개의 점만이 서로 등거리로 배치될 수 있습니다(정삼각형). 따라서 모든 점이 서로 1센티미터 거리로 떨어지게 할 수는 없습니다.
에르들시는 이 수의 증가 속도가 n^(1+o(1))일 것이라고 추측했는데, 이는 n보다 약간 빠르지만 너무 많이 빠르지는 않을 것이라는 의미입니다(n²처럼 폭발적으로 증가하지는 않음). 이 추측은 수학자들을 80년 동안 괴롭혔습니다.
2. AI의 기발한 접근: 고차원 수학을 사용하여 평면의 제한을 극복
인간은 이전에 2차원 격자(예: 체스판)를 사용하여 최대 단위 거리로 떨어진 점 쌍을 만들려고 시도했습니다. 하지만 AI는 인간이 거의 시도하지 않은 방법을 사용했습니다:
1. 고차원 수학 도메인으로의 전환: 인간은 일반적인 정수(2차원)를 사용했지만, AI는 더 복잡한 “고차원 숫자 시스템”(대수 수학 도메인)을 사용했습니다. 이러한 시스템에서는 한 숫자가 더 많은 인수로 분해될 수 있으며, 이를 통해 더 많은 동일 거리의 점 쌍을 만들 수 있습니다.
2. 대수와 기하학의 균형: 고차원의 점을 2차원 평면에 그려놓으면 서로 밀집되지만, AI는 “무한히 확장된 수학 도메인 타워”(유사 도메인 이론 + 골로드-샤프랄레비치 정리)를 사용하여 고차원에서 충분한 단위 거리의 점 쌍을 생성하면서도 2차원으로 투영할 때의 밀도를 제어했습니다.
결과: AI는 단위 거리로 떨어진 점 쌍의 수가 n^(1+0.014)에 이를 수 있음을 증명하여 에르들시의 추측을 직접 뒤엎었습니다.
3. 이정표적 의미: 일반 AI가 중대한 수학적 추측을 해결함
이 결과의 충격적인 점은 다음과 같습니다:
- 특별한 도구가 아님: AI는 모든 작업에 사용할 수 있는 일반 모델로, 수학을 위해 특별히 훈련된 것도 아니며, 특별한 지시나 도구의 도움도 받지 않았습니다.
- 최고 수준의 인정: 필즈상 수상자인 고尔斯(Golds)는 이 AI 증명이 인간이 작성했다면 수학의 최고 학술지인 《매스매틱스 리뷰》(Mathematics Review, 페르마의 마지막 정리가 증명된 곳)에 바로 게재될 것이라고 말했습니다.
- 직관의 한계를 넘어서다: 수학적 추측은 창의적인 사고(새로운 방법을 생각하는 것)가 필요하지만, 이전에는 이것이 인간만의 직관이라고 여겨졌습니다. 하지만 AI는 문제를 계산할 뿐만 아니라 새로운 증명 방법도 “창조”할 수 있었습니다.
4. 이면의 주인공: 대회의 전설 천리제의 역할
이 돌파구의 배후에는 중국인 천리제가 있습니다:
- 대회의 전설: 16세에 정보학 올림픽에서 금메달을 획득했으며, 18세에 세계 1위로 IOI(국제 정보 올림픽)에서 금메달을 획득했습니다. 청화대학 출신으로 MIT에서 박사 학위를 받았습니다.
- AI와 수학의 연결고리: 그는 올해 초 오픈AI에 합류하여 AI의 증명을 인간이 이해할 수 있는 형태로 정리하는 데 주도적인 역할을 했습니다(AI의 원본 사고 과정은 125페이지에 달했습니다). 그는 “5개월 만에 이런 중대한 돌파구가 있을 줄 몰랐다”고 말했습니다.
그의 존재는 AI의 결과가 인간 전문가의 “번역”과 검증이 필요하며, 인간과 AI의 협력이 현재 수학적 돌파구에서 중요한 모델임을 보여줍니다.
5. AI vs 인간의 수학: 조수인가, 대체자인가?
이 돌파구는 열띤 논의를 불러일으켰습니다:
- AI의 장점: 인간이 상상하기 어려운 고차원 수학을 처리할 수 있으며, 시행착오 비용이 낮고 기존 도구를 조합하는 능력이 매우 강합니다. 어떤 이들은 “인간의 뇌가 고등 수학을 위한 최적의 구조가 아닐 수도 있다”고까지 말합니다.
- AI의 한계: 새로운 연구 방향을 제시하거나 새로운 이론(예: 에르들시처럼 추측을 제시하는 것)을 만들 수는 없으며, 기존의 수학 도구만을 조합할 수 있습니다.
- 모라비크 역설(Moravec’s Paradox)의 반영: 수학은 인간에게 어렵지만 AI에게는 상대적으로 쉽습니다. 반면, 요리나 걷기와 같이 인간에게는 간단한 일들은 AI가 잘 못합니다.
현재의 공감대는 AI가 강력한 조수임에도 불구하고 아직 인간 수학자를 대체할 수 있는 단계에 이르지 않았다는 것입니다. 인간의 “취향”, “호기심”, “새로운 문제를 제시하는 능력”은 아직 AI가 대체할 수 없습니다.
결론
AI가 에르들시의 추측을 뒤엎은 것은 종점이 아니라 새로운 시작입니다. 이는 우리에게 다시 생각하게 합니다: 수학이 과연 인간 지능의 마지막 보루일까요? 앞으로 AI와 인간 수학자의 협력은 이전에 없던 새로운 가능성을 열어줄 것입니다.